Herleitung der Gausschen Formel

Carl Friedrich Gauß hat im Jahre 1800 die Berechnung des Osterdatums nach der Vorschrift "Computus paschalis" wie folgt in eine mathematische Formel gefasst:

Gaussche Formel im Julianischen Kalender

a = J mod 19
b = J mod 4
c = J mod 7
d = (19a+15) mod 30 (oder was Modulo 30 dasselbe ist: (15 - 11a) mod 30)
e = (2b + 4c + 6d + 6) mod 7

Ostern fällt dann auf den (22+d+e)ten März oder, wenn d+e>9, auf den (d+e-9)ten April.

Zunächst ist die Ostergrenze zu ermitteln (Mit Beispiel 1500)

1. Das Jahr, für das das Osterdatum zu ermitteln ist wird J genannt.
   
   
2. a = J mod 19
   Damit ist das Jahres innerhalb des Metonzyklus ermittelt.
   Im Beispiel: 1500 : 19 = 78 Rest 18; d.h. a=18
   
   
3. d = (19a+15) mod 30
   d ist die sog. Ostergrenze, d.h. die Anzahl Tage nach dem 21.3. bis zum Vollmond.
   Die 11 kommt von der jährlichen Verschiebung der Vollmonde um 11 Tage.
   Die 30 ist die Monatslänge.
   Die 15, weil im Jahre Null der Vollmond 15 Tage nach dem 21.3. war. (Siehe Metonzyklus)
   
   Im Beispiel: d = (19*18 + 15) mod 30
   d = (342 + 15) mod 30
   d = 357 mod 30
   357 : 30 = 11 Rest 27
   d = 27
   D.h. 27 Tage nach dem 21.3.1500 ist Vollmond. Das ist der 17.4.1500 und heisst Ostergrenze.

Danach ist der erste Sonntag nach der Ostergrenze zu ermitteln.

Bezeichnen wir nun mit "e" die Anzahl der Tage nach der Ostergrenze, um auf einen Sonntag zu kommen. Ostern wäre dann d+e+1 Tage nach dem 21.3. e liegt zwischen 0 und 6.
Der 21.3. des Jahres 1 v.Chr. war ein Sonntag. Von diesem Tag bis zum Ostertag des Jahres J sind 365J+s+d+e+1 Tage vergangen, wobei wir mit s die Anzahl der dazwischenliegenden Schalttage bezeichnen.
s lässt sich so ermitteln:
s=(J-b)/4 wobei b=J mod 4
Da es auf die Anzahl Tage nur modulo 7 ankommt, können wir 364J subtrahieren (364=62*7) und 7s addieren.
Wir erhalten also die Forderung:
3J - 2b + d + e + 1 = 0 mod 7
Mit c = J mod 7 lässt sich das nach e auflösen:
e = (2b + 4c + 6d + 6) mod 7
Zusammenfassend ergeben sich also folgende Rechenschritte:

1. b = J mod 4
2. c = J mod 7
3. e = (2b + 4c + 6d + 6) mod 7

1. 1500 : 4 = 375 Rest 0; d.h. b=0
2. 1500 : 7 = 214 Rest 2; d.h. c=2
3. 2*0 + 4*2 + 6*27 + 6 = 8 + 162 = 170; 170 : 7 = 24 Rest 2; d.h. e=2

Das Osterdatum ergibt sich dann als:

Ostern fällt dann auf den (22+d+e)ten März oder, wenn d+e>9, auf den (d+e-9)ten April.

Im Beispiel: d + e = 27 + 2 = 29 das ist >9; also Ostern am 27 + 2 - 9 = 20. April 1500.